Hubungan Palindrom dengan Problem Solving

Palindrom

Palindrom adalah susunan angka, kata, atau frase yang bila dibaca dari depan ataupun belakang tetap sama. secara umum contoh palindrom kata yang terkenal adalah “Madam, I’m Adam”. Coba baca dari depan maupun belakang dengan mengabaikan apostrof, bunyinya akan sama. Contoh lain yang bisa dicermati adalah “was it a rat i saw” serta kata “level”. Dalam bahasa Indonesia, ada juga beberapa contoh. Misalnya “kasur rusak”, sama bukan jika dibaca dari dua arah. Sementara ada juga contoh lain, di antaranya “rumus sumur”, “kosok”, “katak”, “malam”, “taat”, serta “aku suka”.

Nah, sekarang kita akan membahas tentang palindrom dalam pemecahan masalah .

Oleh karena belajar matematika itu dimulai dari masalah, maka berikut ini saya akan memberikan sebuah masalah/soal:

sebuah bilangan seperti 12321 disebut palindrom. Seorang kawan mengatakan bahwa semua palindrom yang terdiri dari empat angka habis dibagi sebelas. Apakah benar?

Anda boleh mencoba soal diatas.

Apakah Anda mengalami kesulitan?

beberapa pertanyaan berikut akan menuntun anda.

– Cobalah cari palindrom yang terdiri empat angka.

– Apakah Anda percaya dengan apa yang dikatakan teman anda diatas?

– Apa yang ingin Anda tunjukan?

cara yang paling mudah untuk memulai memecahkan masalah diatas adalah dengan mengambil beberapa kasus khusus. Mungkin kita ingin mendapat kesan atau gambaran bilangan-bilangan apakah yang akan kita kaji. Kita perlu memperoleh gambaran tentang Palindrom .

747 adalah palindrom

88 adalah contoh palindrom yang lain.

Yah, kita kembali melihat soal diatas yang berkaitan dengan palindrom dengan empat angka, artinya menyangkut bilangan-bilangan seperti:

1221, 3003, 6996, dan 7557.

Apa yang akan kita lakukan? Kita ingin membuktikan bahwa bilangan-bilangan diatas habis dibagi 11.

Dengan mencoba bilangan-bilangan seperti diatas, kita nampaknya percaya bahwa memang habis dibagi 11. Tetapi kita tidak serta merta yakin bahwa hal itu benar hanya karena mencoba beberapa bilangan, kecuali kita siap untuk menguji setiap palindrom empat angka. Oleh karena itu, akan lebih baik mencoba mencari ide untuk mendapatkan polanya. Saya ingat salah satu strategi dalam menyelesaikan masalah adalah menemukan pola(finding a pattern).

Nah, sekarang kita coba beberapa kasus khusus berikut:

1221/11 = 111,

3003/11 = 273,

6996/11 = 636,

7557/11 = 687,

tetapi hasilnya tidak memberikan pola yang jelas. Penting diperhatikan bahwa mencoba-coba tidak mangkus dilakukan secara acak, tetapi harus dilakukan secara sistematik. Misalnya kita bertanya:

  • Berapakah bilangan palindrom empat angka yang paling kecil?
  • Berapakah bilangan palindrom terkecil berikutnya?
  • Berapakah selisih dari kedua bilangan tersebut?

Salah satu cara adalah mulai dengan palindrom empat angka yang paling kecil (yaitu 1001) dan menghitung ke atas secara numerik:

1001,1111,1221,1331, . . .

Kemudian diperiksa membagi dengan 11:

1001/11 = 91

1111/11 = 101

1221/11 = 111

1331/11 = 121

Hasil diatas tidak hanya menjelaskan bahwa habis dibagi 11, tetapi memberikan gambaran lebih. Misalnya, kita melihat bahwa seiap kali palindrom bertambah sebesar 110 dan hasil baginya bertambah 10.

Sekarang kita bisa lihat bahwa perbedaan antara dua palindrom berurutan selalu 110. Palindrom terkecil (1001) jelas habis dibagi 11, demikian pula 110. Karena palindrom yang lain diperoleh dengan menambahkan 110 pada palindrom sebelumnya dan dimulai dengan 1001, semua palindrom empat angka harus habis dibagi 11.

Apakah permasalahan selesai?

Palindrom sebagaimana contoh diatas, satuannya adalah 1. Bagaimana dengan palindrom yang lain, misalnya 7557 (satuanya adalah 7). Pengkhususan yang kita lakukan di atas membawa pada pola bahwa setiap palindrom mempunyai selisih 110. Ternyata, pola tersebut tidak berlaku untuk seluruh palindrom (yaitu palindrom yang tidak berakhiran dengan 1). Kesalahan terletak pada terlalu cepat membuat kesimpulan  hanya berdasarkan selisih tiga palindrom. Untungnya, pengkhususan dapat mebantu kita lagi; kali ini dengan melihat pada kelemahan pola. Perhatikan lebih jauh daftar palindrom berikut.

Palindrom

1881

1991

2002

2112

2222

2332

Selisih

110

11

110

110

110

Perhatikan bahwa palindrom berurutan yang mempunyai angka ribuan yang sama harus mempunyai angka satuan yang sama agar menjadi palindrom. Jadi kedua bilangan hanya berbeda pada angka kedua dan ketiga (ratusan dan puluhan), yang masing-masing satu lebihnya. Oleh karena itu, selisihnya 110.

Palindrom berurutan yang berbeda angka ribuan (misalnya 1991 dan 2002) dipeoleh dengan menambahkan 1001 (untuk menambahkan angka ribuan dan satuannya) dan mengurangkan 990 (untuk menurunkan angka kedua dan ketiga dari sembilan ke nol). Tetapi 1001 – 990 = 11, sebagaimana kita lihat pada contoh diatas.

Dari kedua kasus diatas, selisihnya habis dibagi 11. Jadi asalkan palindrom empat angka yang terkecil (1001) habis dibagi 11 (memang demikian), maka seluruh palindrom empat angka habis dibagi 11.

sumber: http://sains.kompas.com/read/2011/11/11/10553019/Tanggal.111111.Bisa.Disebut.Palindrom dan Majalah PMRI/vol.vii/oktober 2009.

Tentang matitaputtychristi

Friendly
Pos ini dipublikasikan di Problem Solving dan tag , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s