Seri soal Perbandingan Aritmatika dari Asosiasi Matematika Amerika

Berikut ini adalah beberapa soal olimpiade matematika tingkat SMA yang penulis ambil dari buku soal yang menggunakan kompetensi matematika Amerika atau yang lebuh dikenal dengan Mathematical Association of America/MAA. dibawah ini ada beberapa soal dan penyelesaian yang berhubungan dengan perbandingan aritmatika.

1. Setiap hari saat pagi Jenny makan 20% permen jeli di stoplesnya. Di sore  hari pada hari kedua tersisa 32 buah permen. Berapa buah permen jeli mula-mula yang ada di dalam toples tersebut?

Penyelesaian :

Misalkan banyak permen yang mula-mula dimiliki Jenny adalah x. Karena dia makan 20% permen setiap hari, maka dia memiliki 0,8permen pada sore hari ke-1 dan 0,8 (0,8x) = 0,64x permen pada sore hari ke-2. Jadi banyaknya permen yang mula-mula dimilikinya adalah :

32 = 0,64x dan x = 32/0,64=1/0,02 = 50.

2. Wanda, Darren, Beatrice dan Chi adalah pengajar laboratorium matematika sekolah. Jadwal mereka adalah sebagai berikut: Darren bekerja setiap empat hari sekali, Beatrice setiap enam hari sekali, dan Chi setiap tujuh hari sekali. Hari ini keempatnya bekerja secara bersamaan di laboratorium sekolah.  Dalam berapa hari lagi terhitung dari sekarang mereka bekerja pada hari yang sama lagi?

Penyelesaian :

Wanda dan Darren secara berturut-turut bekerja setiap 4 dan 3 hari, sehingga mereka akan bekertja bersama-sama kembali pada hari ke-12. Beatrice juga akan bekerja bersama mereka pada hari itu karena dia bekerja setiap 6 hari sekali. Jadi, Wanda, Darren dan Beatrice akan bekerja bersama-sama setiap 12 hari sekali sejak sekarang. Tetapi, Chi tidak akan bekerja bersama mereka kembali selama

KPK { 3,4,6,7} = 7 . 3 . 4 = 84 hari.

3. Sebuah perusahan menjual selai kacang dalam kemasan tabung kaleng. Bagian pemasaran menyarankan bahwa jika digunakan kaleng yang lebih lebar maka akan menaikan penjualan. Andaikan diameter kaleng ditingkatkan 25 persen tanpa mengubah isisnya. Berapa persenkah ketinggian kaleng harus dikurangi?

Penyelesaian:

Misalkan

  • r dan h  adalah jari-jari dan tinggi kaleng lama.
  • R dan H adalah jari-jari dan tinggi kaleng baru.

Karena diameter kaleng tersebut bertambah 25%, maka jari-jarinya juga bertambah 25%, yaitu, = 1,25= 5/4r. Volume kaleng silinder adalah hasil kali luas alas dengan tingginya sehingga:

Tinggi kaleng berkurang menjadi (1 – 16/25) = 9/25 = 36/100 = 36%

4. Setiap pagi Pak Earl E. Bird berangkat bekerja dari rumah tepat pada pukul 08.00. Bila kecepatan mengendaranya 40 mil per jam, dia terlambat 3 menit tiba ditempat kerja. Bila kecepatan rata-ratanya 60 mil per jam, dia akan tiba 3 menit lebih awal. Pada kecepatan berapa mil per jam dia harus mengendarai mobilnya agar tiba tepat waktu?

Penyelesaian :

Misalkan D,R dan T  secara berurutan, adalah jarak, kelajuan, dan waktu yang akan menyebabkan Burung (Pak Earl E. Bird) datang tepat waktu. Karena 3 menit adalah 1/20 jam dan jarak yang ditempuh di setiap kasus adalah sama maka :

Dengan menyamakan nilai D akan menghasilkan :

40T + 2 = 60T – 3, sehingga 20T= 5,  dan T=1/4 jam.

Dengan nilai T ini, maka :

D = 40 (1/4 + 1/20) = 12 mil, sehingga R = 12 mil/ 0,25 jam= 48 mil/jam.

5. Sebuah corong es krim terdiri atas sebuah bola es krim vanila dan kerucut tegak yang diameter sama dengan diameter bola es krim. Bila es krim melele, maka akan memenuhi corong. Andaikan es krim leleh itu menempati 75 persen volume es krim beku. Berapa perbandingan ketinggian kerucut terhadap diameternya?

Penyelesaian:

Bola dengan jari-jari memiliki volume Vs = (4/3)πr^3, dan kerucut dengan jari-jari alas r dan tinggi t memiliki volume Vc= (1/3) πr^2t.

Pada soal ini jari-jari bola sama dengan jari-jari alas kerucut, dan volume bola yang meleleh adalah ¾  dari bola asli dan besarnya sama dengan volume kerucut. Jadi,

Dengan demikian perbandingan tinggi, t, terhadap jari-jari, r, kerucut adalah 3: 1

5. Cassandra mencocokan arlojinya di tengah hari. Pada jam yang seharusnya pukul 01.00 siang, arlojinya menunjukan waktu 12.57.36. Andaikan es krim leleh itu menempati 75 persen volume es krim beku. Berapa perbandingan ketinggian kerucut terhadap diameternya?

Penyelesaian:

Pertama-tama kita defenisikan dua peubah waktu. Misalkan:

  • Tc menunjukan jumlah waktu setelah siang seperti yang ditunjukan pada arliji Cassandra
  • Tt menunjukan jumlah waktu sebenarnya setelah siang hari.

Jika waktu sebenarnya adalah pukul 01.00 maka

Jika arloji Cassandra terbaca pukul 10.00 malam, yaitu, Tc = 600 menit setelah pukul 12.00 siang hari, maka jumlah menit setelah siang hari sebenarnya adalah :

Tt = 25/24 (600) = 600 + 25.

Dengan demikian waktu sebenarnya adalah pukul 10.25 malam.

6. Jack dan Jill berlari sejauh 10 kilometer. Mereka mulai dari tempat yang sama,berlari 5 kilometer mendaki bukit, dan kembali ke titik awal melalui rute yang sama. Jack mulai 10 menit lebih awal dengan kecepatan 15 km/jam naik dan 20km/jam turun. Jill berlari 16 km/jam naik dan 22 km/jam turun. Seberapa jauh dari puncak bukit saat mereka saling berpapasan?

Penyelesaian:

Karena Jack berlari menaiki bukit dengan kecepatan 15 km/jam, maka diperlukan waktu 5/15 = 1/3 jam untuk mencapai puncak bukit. Dia mendahului start 10 menit, atau 1/6 jam, sehingga baginya hanya diperlukan waktu 1/6 jam tersebut, Jill telah berlari sejauh 16(1/6) = 8/3 km menaiki bukut, dan sisanya 5 – 8/3 = 7/3 km untuk mencapai puncak bukit.

Situasi selanjutnya adalah sebagai berikut: Jack berlari menuruni bukit pada kecepatan 20 km/jam, dan Jill berlari pada kecepatan 16 km/jam pada jarak 7/3 km di bawah puncak bukit. Keduanya bertemu pada jarak dari puncak bukit. Karena waktu untuk keduanya bertemu pada jarak dari puncak bukit. Karena waktu untuk keduanya sama, mereka akan bertemu pada,

D/20 = T  dan T= (7/3 – D )/16 = 7/48 – D/16 .

Jadi,

7/48 = D/20 + D/16 = 9/80D  dan D = 7/48 . 80/9 = 35/27 km.

7. Sarah menaruh empat ons kopi dalam cangkir 8 ons, dan dia menaruh empat ons krim dalam cangkir lain yang ukurannya sama. Kemudian dia menuang setengah kopi dari cangkir pertama ke dalam cangkir kedua dan setelah mengaduk rata, dia menuangkan setengahnya kembali ke cangkir pertama. Berapa pecahan krim dalam campuran cangkir pertama?

Penyelesaian:

Setelah penuangan pertama, setengah dari seluruh kopi ada di dalam cangkir kedua bersama dengan semua krim, sehingga volume keseluruhannya menjadi 6 ons. Ketika separuh cairan di cangkir kedua yang telah diaduk rata tersebut dituangkan ke dalam cangkir pertama, maka volume cangkir pertama akan bertambah sebanyak tiga ons, yaitu satu ons kopi dan dua ons krim. Jadi, cangkir pertama sekarang akan berisi 5 ons cairan, yaitu 3 ons kopi dan 2 ons krim.

Gambar berikut menunjukan keadaan tersebut.

Besarnya baian krim di cangkir pertama setelah dua kali penuangan adalah 2/5.

Sumber: 

Buku soal ikatan Matematika Amerika (MAA)

Oleh : J Douglas Faires. (Youngstown State University)

Tentang matitaputtychristi

Friendly
Pos ini dipublikasikan di Matematika SMA / MA dan tag , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Seri soal Perbandingan Aritmatika dari Asosiasi Matematika Amerika

  1. Ping balik: Kumpulan soal Olimpiade Matematika | Christi's Blog

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s